a/ Gọi điểm cố định là N(x₀;y₀)

Suy ra N thuộc đồ thị hàm số y = (m-2)x+3 nên : 

\(y_0=\left(m-2\right)x_0+3\Leftrightarrow mx_0-\left(2x_0+y_0-3\right)=0\)

Vì đths luôn đi qua N với mọi x,y nên : 

\(\begin{cases}x_0=0\\2x_0+y_0-3=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=0\\y_0=3\end{cases}\)

Vậy điểm cố định là \(N\left(0;3\right)\)

b,c tương tự

a) giả sử đường thẳng trên đi qua điểm cố định A ( x₀ ; y₀ )

\(\Rightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+3\) với mọi m

\(\Leftrightarrow x_0m-\left(y_0+2x_0-3\right)=0\)với mọi m

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=0\\y_0+2x_0-3=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=0\\y_0=3\end{cases}}}\)

Vậy điểm cố định là ( 0 ; 3 )

tương tự : b) ( -1 ; 2 )

c) ( -2 ; 1 )

Gọi điểm cố định mà đường thẳng :

(d) có phương trình y = (m² + m) x - 2m² - 2m đi qua  là điểm A ( x_0;y₀)

Vì điểm A thuộc đường thẳng (d) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng (d) ta có :

(m² + m) x₀ - 2m² - 2m =  y₀

m².x₀ + mx₀ - 2m² - 2m = y₀

(m²x₀ - 2m²) + ( mx₀ - 2m) = y₀

m²(x₀ - 2) + m(x₀ - 2) = y₀

(m² + m)( x₀ - 2) = y₀ (1)

Pt(1) luôn đúng với \(\forall\) m \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=0\\y_0=0\end{matrix}\right.\)

                                       \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=0\end{matrix}\right.\)

                                       \(\Rightarrow\) A( 2;0)

Kết luận : Vậy điểm cố định mà đường thẳng y =  (m² +m) x - 2m² - 2m đi qua là điểm A(2;0)

Lời giải:
a. 

$y=(2m+5)x+m+3, \forall m$

$\Leftrightarrow 2mx+5x+m+3-y=0, \forall m$

$\Leftrightarrow m(2x+1)+(5x+3-y)=0, \forall m$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+1=0\\ 5x+3-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy đt luôn đi qua điểm $(\frac{-1}{2}, \frac{1}{2})$ với mọi $m$

b.

$y=m(x+2), \forall m$

$\Leftrightarrow m(x+2)-y=0, \forall m$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2=0\\ y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2\\ y=0\end{matrix}\right.\) 

Vậy đt luôn đi qua điểm $(-2,0)$ với mọi $m$.

Sửa đề: \(y=\left(1+m\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2+\left(-2m+2\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2-2mx+2x+m-3\)

\(=m\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2x-3\)

\(=m\left(x-1\right)^2+x^2+2x-3\)

Tọa độ điểm mà (Pm) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2-3=0\end{matrix}\right.\)

(P): \(y=\left(1+m\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2-2mx+2x+m-3\)

\(=m\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2x-3\)

\(=m\left(x-1\right)^2+x^2+2x-3\)

Tọa độ điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2-3=0\end{matrix}\right.\)

\(y=\left(m^2-m-1\right)x-2m^2+2m-3\)

\(=m^2x-mx-x-2m^2+2m-3\)

\(=m^2\left(x-2\right)+m\left(2-x\right)-x-3\)

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\2-x=0\\y=-x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-2-3=-5\end{matrix}\right.\)

Gọi điểm cố định mà ĐTHS luôn đi qua có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow y_0=\left(m^2-m-1\right)x_0-2m^2+2m-3\), với mọi m

\(\Rightarrow m^2\left(x_0-2\right)-m\left(x_0-2\right)-\left(x_0+y_0+3\right)=0\), với mọi m

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=0\\x_0-2=0\\x_0+y_0+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy ĐTHS luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(2;-5\right)\)